מבחני התכנסות - מבחני השורש (קושי)

מבחן השורש - נוסח 1

נתון הטור כאשר a_n 0      

א) אם קיים q 0 < q < 1 כך ש - אזי הטור מתכנס

ב) אם עבור אין סוף n -ים אזי הטור מתבדר

הוכחה

א: נניח כי מתקיים       

אזי       

הטור טור הנדסי מתכנס ולכן ע"פ משפט השואה ראשון הטור מתכנס

ב: מהנתון עבור אין סוף n -ים

ולכן a_n לא שואף לאפס (שאיפה לאפס תנאי הכרחי להתכנסות הטור ) ולכן

הטור מתבדר

מבחן השורש - נוסח 2

נתון הטור כאשר a_n 0      

א) אם מתקיים אזי הטור מתכנס

ב) אם מתקיים אזי הטור מתבדר

הוכחה

א: נסמן עבור הסדרה ויהי

בסדרה הנ"ל יש רק מספר סופי של איברים הגדולים מ - q

אחרת היה גבול חלקי נוסף הגדול מ- בסתירה להגדרת ומתקיים א של נוסח 1

ב: יש סדרה חלקית של הקרובים ל-

< 1 ולכן יש מספר אין סופי של n-ים עבורם ומתקיים ב של נוסח 1

מבחן השורש - נוסח 3

נתון הטור כאשר a_n 0      

נסמן בהנחה שהגבול קיים

א) אם < 1 הטור מתכנס

ב) אם > 1 הטור מתבדר

ג) אם = 1 לא ניתן לקבוע

הוכחה

א ו- ב נובעים מנוסח 2 כי כשיש גבול הגבול שווה לגבול עליון

ג ע"פ דוגמא נגדית

ידוע כי וכן הטור מתכנס

לעומת זאת אבל הטור מתבדר