משפט

לכל סדרה אינסופית יש גבול עליון וגבול תחתון

(ייתכן או )

הוכחה (עבור גבול עליון)

נתונה הסדרה        נסמן     {...,b_n = sup{ a_n,a_n+1

b_n הינה סדרת כל חסמי המלעיל של a_n:    ז"א    {...,b₁ = sup{ a₁,a₂

{...,b₂ = sup{ a₂,a₃
.
.
.
.

{...,b_n = sup{ a_n,a_n+1

הערה: b₁ גדול יותר/ שווה מ - b₂ מכוון שיכול להיות ש - a₁

הוא האיבר הגדול ביותר בסדרה המקורית a_n והוא יהיה b₁

b_n תמיד קיים יתכן

נדון רק במקרה ש - חסומה ולכן לכל n טבעי b_n הוא מספר סופי

נתבונן בסדרה       קל לאשר כי ... b₁ b₂

ז"א יורדת ו - חסומה ולכן גם חסומה

ע"פ משפט יורדת וחסומה הגבול הוא חסם המלרע ל - יש

גבול יהי b

וכן ידוע כי הגבול b הוא החסם התחתון

אם כך (b = inf(b_n    וכן    b=b_n

נוכל לרשום         {...,b = inf sup{ a_n,a_n+1

            טענה ראשונה: b הוא גבול חלקי של

            הוכחת הטענה: יהי {...,b_k = sup{ a_k,a_k+1

ע"פ הגדרת sup :לכל k טבעי קיים a_nk (אחד האיברים מ - a_k והלאה)

n_k>k

            כך ש - b_k - < a_nk b_k

            כשמגדילים את k ל - k+1 נבחר a_nk+1 כך ש - n_k < n_k+1

            קיבלנו סדרה חלקית המקיימת b_k - < a_nk b_k

            על פי משפט הסנדוויץ נקבל a_nk = b

טענה שניה: b הוא הגבול החלקי הגדול ביותר של

הוכחת הטענה: יהי a גבול חלקי כלשהו של       נוכיח כי a b

ע"פ הגדרת גבול חלקי קיימת ל - סדרה חלקית

כך ש - a_nk = a

נבחר {...,b_nk = sup{ a_nk,a_nk+1 (החסם העליון של כל האיברים שאחרי

a_nk שבסדרה המקורית )

קיבלנו a_nk b_nk

הסדרה היא סדרה חלקית ל -

ראינו כי   b=b_n   ולכן גם   b=b_nk

ראינו a_nk b_nk לכן ע"פ משפט מאי שווינים בסדרות מתקיים a b  

סיכום

לכל סדרה יש גבול עליון           a_n

                   וגבול תחתון         a_n

המקיימים        

הסדרה יורדת ולכן הגבול שלה הוא האינפימום של המספרים הכי גדולים

כאשר כל ה -sup שואפים לתחתון שבנהים (מכוון שהסדרה יורדת)

ו -               

הסדרה עולה ולכן הגבול שלה הוא הסופרימום של המספרים הכי קטנים

כאשר כל ה - inf שואפים לעליון שבנהים (מכוון שהסדרה עולה)