משפט בולצנו ויירשטרס - B-W

לכל סדרה אין סופית וחסומה קיים גבול חלקי  

הוכחה

נתונה הסדרה החסומה ז"א קיים חסם מלרע נאמר a וחסם מלעיל נאמר b

אם כך כל איברי הסדרה שייכים לקטע [a,b]     ז"א     a < a _n < b    

נתבונן בשני הקטעים הסגורים [a, ] , [ ,b ]

לפחות באחד מהם יש אין סוף איברים של הסדרה נאמר תכונה p
( p יסמן שבקטע יש אין סוף איברים )  

נבחר את הקטע בעל התכונה p , אם לשנהם התכונה p נבחר את הימני ונסמנו

[a₁,b₁] מתקיים בכל מקרה   a a₁ < b₁ b

נחלק שוב קטע זה לשניים באותה דרך ונקבל קטע [a₂,b₂] בעל תכונה p

מתקיים   a a₁ a₂ < b₂ b₁ b   וכך ממשיכים באינדוקציה

בסופו של דבר נקבל סדרת קטעים סדורים ([a_n,b_n]) הכלואים זה בתוך זה

ז"א מתקיים             a_n a_n+1 < b_n+1 b_n    

לכל הקטעים תכונה p ואורכם             0 = a_n - b_n

ע"פ הלמה של קנטור קיימת נקודה אחת ויחידה המקיימת a_n c b_n

בקטע [a₁,b₁] יש אנסוף איברים של הסדרה נבחר אחד מהם ונסמנו ב - a_n1

כך נבחר מכל קטע איבר יחיד עד שנקבל את הסדרה    a_n1.....a_nk   

כאשר ...> n₁ < n₂

בקטעים [a_k+1,b_k+1] נבחר   a_nk+1   כך ש - n_k < n_k+1 אפשרי כי בקטע זה יש אין

סוף איברים של הסדרה (אפשר לבחור איבר בעל אינדקס גדול יותר)

עם כך קיבלנו סדרה חלקית

כאשר על פי הלמה של קנטור a_n      a_nk       b_n    

נשאיף k לאינסוף           

על פי הסנדוויץ        c

            c גבול חלקי מש"ל