הוכחה:

תהי נתונה סדרה כלשהי, {a_n}, ויהיו L ו-L' גבולות הסדרה. נוכיח כי L=L'.

נניח בשלילה כי LL' אזי על פי הטריכוטומיה או ש L< L' או ש L>L'.

יהיו L ו-L' סתם שני גבולות ולכן בלי הגבלת הכלליות נניח L<L'

כיוון שL ו-L' הם גבולות הסדרה הרי שלפי הגדרת גבול סדרה לכל >0 ובפרט נבחר

= >0

אזי קיימים: n₀) n₀') בהתאמה לשני הגבולות כך שלכל n המקיים n>n₀') n>n₀)

מתקיים:

       



יהי max(n₀,n₀')<n₁ (קיים n₁ כזה מכיוון שסדרת המספרים הטבעיים איננה חסומה

מלעיל) ולכן עבור a_n1 מתקיימים א' ו-ב'.

כלומר וזאת בסתירה לטריכוטומיה.