תרגיל:

מהו גבול הסדרה a_n=(-1)ⁿ ?

נניח בשלילה כי a_n מתכנסת ל-L גבול כלשהו.

אזי יש לה n₀ כך שלכל n₀ < n מתקיים: | L - (-1)ⁿ |<

מכיוון שזה נכון לכל אזי בפרט עבור = נקבל > | L - (-1)ⁿ |

ומכיוון שזה נכון לכל n₀ < n

לא משנה מיהו n₀ הגבול חייב להיות בתחום זה.

אך מכיוון שאין חיתוך בין התחומים (מגבלות על מיקום L) אזי לא קיים L שכזה.

ולכן L לא יכול להיות הגבול של וזה נכון לכל L ולכן לסדרה אין גבול.

תרגיל:

יהי נתון . מה הוא ערכו של הגבול הבא ?

ניתן לרשום כך כאשר b>a. ולכן מספיק

להוכיח למה שווה . נראה כי הגבול הוא אפס,

כיוון שהמכנה קטן מהמונה והחזקות מקטינות אותו.

אזי עבור >0 צריך למצוא n₀ כך שלכל n₀ < n יתקיים

נבצע לוג על שני האגפים

אי השיוויון נשמר כי לוג היא פונקציה מונוטונית בקטע [0,1]

ונקבל . כעת, קיים n₀ עבורו מתקיים .

ולכן עבור n₀ < n נקבל כי

ובסך הכל נקבל כי מש"ל.

תרגיל:

מה הוא ערכו של הגבול הבא ?

יהי נתון מחפשים n₀ כך שלכל n₀ < n מתקיים:

      

קיים n₀ שמקיים מכיוון ש- אינה חסומה מלעיל.

ולכן לכל n₀ < n יתקיים