נתון a_n ויהי נתון ₀

כיוון שהסדרה שואפת ל - לכל

בפרט עבור M = M₀ קיים n₀ כך שלכל n ,n > n₀ מתקיים: M₀ < a_n

יהי n₁ = n₀ + 1 מתקיים M₀ < a_n0+1

פרושו שהסדרה אינה חסומה מלעיל .

נתבונן בסדרה ........1,1,2,1,3,1,4

ניתן לראות כי הסדרה אינה חסומה מלעיל וכן אינה שואפת לאין סוף

(לא כמעט כל האיברים נמצאים באינסוף - ישנם אינסוף איברים ששוים ל- 1)

אם בעלת גבול אזיי היא אינה חסומה מלרע

הוכחה זהה !!!

אם ל- גבול 0 כאשר 0 n a_n

אזי ל - גבול   

יהי נתון ₀ (רוצים להוכיח כי לכל M הדבר מתקיים ולכן אי אפשר לבחור M
אלא הוא נתון מראש)

לפי הנתון 0 a_n ולכן לכל בפרט עבור =
קיים n₀ כך שלכל n ,n > n₀ מתקיים: < | 0 - a_n< | a_n

נקבל > M וזה מתקיים לכל n > n₀ , n

אם ל- גבול 0 כאשר 0 n a_n

אזי ל - גבול   

יהי נתון ₀

לפי הנתון |a_n| ולכן לכל בפרט עבור = M₀

קיים n₀ כך שלכל n ,n > n₀ מתקיים: |a_n| <

נקבל >

> 0 - >