אי שויונים בסדרות המשך

נתון כי ל - גבול a

יהי b מקיים b < a

אזי קיים n₀ כך שלכל n > n₀ ,n מתקיים: a_n < b

נגדיר סדרה קבועה כך ש - b = b_n , n

לסדרה זו יש גבול והוא שווה ל - b

ע"פ משפט 1 (שמירת יחסים) קיים n₀ כך שלכל n > n₀ , n מתקיים:

a_n < b_n < b

נתון כי ל - גבול a

         ול - גבול b

בנוסף נתון כי קיים n₀ כך שלכל n > n₀ מתקיים:    (1) a_n b_n

                                                            אזי            a b

נניח בשלילה כי a b ע"פ הטריכוטומיה b < a

ע"פ משפט 1 (שמירת יחסים) קיים 'n₀ כך שלכל n > 'n₀ מתקיים (2) b_n < a_n

יהי Max(n₀,'n₀) < n₁

ע"פ    (1)     נקבל a_n1 b_n1

ע"פ    (2)     נקבל b_n1 < a_n1

וזאת בסתירה לטריכוטומיה.

נתון כי ל - גבול a

ויהי b מספר

בנוסף נתון כי קיים n₀ כך שלכל n > n₀ מתקיים:    a_n b

                                                         אזי          a b

b_n סדרה קבועה שאבריה b ולפי משפט 3 (שמירת יחסים) נקבל כי

                                a_n b_n
                                   
                                 a b