לסדרה יש גבול !!! .

ידוע אי שוויון ברנולי:

א.

ב.

טענה 1: הסדרה חסומה מלרע -

2 < + 2 = ( 1+ n ) + 1

טענה 2: הסדרה יורדת אפילו ממש -

נסמן = b_n      ונוכיח כי b_n+1 b_n   או    1      

    

מספיק להוכיח כי c_n



קיבלנו c_n <

ע"פ משפט 1 - לסדרה יש גבול המסומן e והוא נקרא מספר אויילר

ע"פ משפט 2 - החסם התחתון של הסדרה הנ"ל הוא הגבול ולכן שווה ל - e   

בטענה 1 ראינו כי 2 הוא חסם מלרע ולכן e 2

נחשב את האיבר החמישי

כוון שהסדרה יורדת נקבל e > 3

אם כך

מספר אויילר הוא מספר אי רציונלי ואפילו טרנסצדנטלי       2.718181828 = e