תהי סדרה עולה ז"א :   a_n a_n+1       וכן חסומה מלעיל .

ז"א ע"פ אכסיומת השלמות יש לסדרה חסם עליון יהי a.

א. a_n a   

ב. לכל קיים n₁ כך ש - a - < a_n1

טענה :- a גבול הסדרה

ואמנם יהי נתון

ע"פ ב. לכל בפרט עבור = קיים n₁ כך ש - (1) a - < a_n1

לכל n > n₁ כוון שהסדרה עולה (2) a_n1 a_n

מ - א. קיבלנו (3) a_n a   

נקבל כי לכל n n < n₁ מתקיים:                   _{(3)      (2)      (1)}
                                             + a - < a_n1 a_n a < a

                                                    + a - < a_n < a

                                                                                            מש"ל

לסדרה ירדת וחסומה מלרע יש גבול

הוכחה זהה

סדרה עולה שאינה חסומה מלעיל שואפת ל -

תהי נתונה סדרה עולה שאינה חסומה מלעיל ונוכיח כי שואפת ל -

יהי נתון M₀ > 0

כוון שהסדרה אינה חסומה מלעיל לכל 0 < M בפרט עבור M = M₀ קיים n₁ כך ש-

(1) M₀ < a_n1

לכל a_n1 a_n (2) n > n₀ , n (הסדרה עולה)

ולכן לכל n > n₀ , n (ע"פ טרניטביות יחס הסדר) M₀ < a_n

סדרה יורדת שאינה חסומה מלרע שואפת ל -

הוכחה זהה