משפט 5 - מכפלת סדרות

אם לסדרה קיים גבול a, ולסדרה קיים גבול b

אזי לסדרת המכפלה קיים גבול והוא (a*b).

הוכחה:

א.מקרה פרטי b=0 : נתון כי הסדרה בעלת גבול ולכן חסומה(ע"פ גבול גורר

חסימות)

ולכן ע"פ משפט 4 ל - יש גבול 0 ומתקיים ab=a0=0

לכן במקרה פרטי זה המשפט הוכח!


ב.נוכיח למקרה 0b : יהי נתון

בעלת גבול ולכן חסומה ז"א קיים כך שלכל n טבעי (1) M

b גבול ולכן לכל בפרט עבור = קיים 'n₀ כך שלכל n

n > 'n₀ מתקיים (2) >

a גבול ולכן לכל בפרט עבור = (0 b) קיים ''n₀ כך שלכל n

n > ''n₀ מתקיים (3) >

להוכחת גבול הסדרה ו- הנתון נבחר ( n₀ = Max(''n₀,'n₀

ואמנם לכל n מקיים מתקיימים (1) (2) ו - (3)


= =


= + M > +
                                                                        מש"ל